7M05401 Математика в ЕНУ им. Л. Н. Гумилева

Дисциплина «Методы функционального анализа»  направлена на изучение  основных методов функционального анализа.   Предметом изучения являются общая теория бесконечномерных метрических пространств, линейных нормированных пространств, евклидовых и гильбертовых пространств, функционалов и операторов на них; теория меры и интегрирования в общих пространствах с мерой, установление обобщающих связей между различными разделами математики. В процессе обучения обучающиеся должны усвоить основные методы функционального анализа и приобрести навыки исследования и решения задач.

Курс предназначен для ознакомления магистрантов с задачами компьютерного (вычислительного) поперечника с его различными конкретизациями: восстановления функций из классов, численное интегрирование, дискретизация решений уравнений в частных производных, построения операторов восстановления, метод тензорных произведений функционалов.

Теория обобщенных функций является одной из важнейших областей современной фундаментальной математики, востребована в качестве основнои теории в исследовании и решении задач математической физики. Курс влючает в себя основные положения ТОФ и приложения к уравнениям в частных производных.

Гильбертова пространства. Спектральные теоремы. Сопряженный оператор, вполне непрерывный оператор и их различные свойства. Альтернатива Фредгольма. Спектр оператора. Симметрические операторы.

Дисциплина «Применение тригонометрических рядов Фурье и преобразования Фурье в задачах сжатия информации» является предметом, направленным на обучение важным методом гармонического анализа. Объект обучения - ортогональные ряды, тригонометрические ряды Фурье, свойства, сумма Дирихле, сумма Фейера, достаточные условия сходимости. Кроме того, изучаются комплексные типы рядов Фурье и кратные тригонометрические ряды Фурье. В процессе обучения учащиеся должны освоить тригонометрические ряды Фурье и овладеть навыками решения проблем и исследования.

В стандартном курсе функционального анализа изучаются элементы линейных ограниченных операторов. Предлагаемая дисциплина посвящена неограниченным линейным операторам, включая дифференциальные операторы. Обучающиеся осваивают методы использования замкнутых линейных операторов в вопросах решения обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в пространствах Гильберта и Лебега.

Дискретные пространства Лебега, Лоренца. Неравенства Гельдера, Минковского, Юнга-О’Нейла, их обобщения. Теоремы Харди-Литтлвуда, Стейна, Боаса. Интерполирование основных дискретных пространств.

Дисциплина «Интегрируемость и суммируемость ортогональных рядов» направлена на изучение вопросов интегрируемости суммы рядов по тригонометрической системе и по системе Уолша, рассматриваются вопросы принадлежности суммы указанных рядов различным функциональным классам в зависимости от поведения коэффициентов рассматриваемых рядов. Основное внимание уделяется рядам с монотонными коэффициентами. Кроме того изучаются вопросы суммируемости по разным методам рассматриваемых рядов. В результате обучающихся получают навыки работы с рядом по тригонометрической системе и по системе Уолша.

Данный предмет направлен на развитие профессионально-педагогических компетенций магистрантов, умение организации учебно-воспитательного процесса, а также на всестороннюю подготовку к успешному научному творчеству в системе высшего и послевузовского образования.

Курс охватывает следующие разделы математики: Операторы в функциональных пространствах. Преобразование Гильберта и потенциалы Рисса и Бесселя. Пространства потенциалов и их свойства. Связь пространства потенциалов с другими функциональными пространствами. Приложения пространства потенциалов.

По этому предмету магистрантам преподают определение пространств Лебега, Лоренца и основные свойства, теоремы вложения. Кроме того, изучаются неравенства Гельдера, Минковского, Юнга-О’Нейла и их обобщения. Приведены основные неравенства в разных функциональных пространствах. В ходе этого курса магистранты приобретают навыки понимания и применения различных неравенств.

Порядки элементов и экспонента группы. Подгруппы. Погруппа, порожденная подмножеством. Произведения групп и подгрупп. Разложение группы. Простые группы. Силовские подгруппы. Канноническое разложение конечной абелевой группы. Тип конечной абелевой группы. Перечисление конечных абелевых групп. Характеры конечных абелевых групп. Характеры конечных полей. Суммы Гаусса

Дисциплина «Теории групп» направлена на изучение свойства групп и нильпотентные группы. В частности: подгруппы, нормальные подгруппы, гомоморфизмы и изоморфизмы групп, циклические группы, конечные группы, группы классов вычетов, Фактор-группа, теорема Лагранжа, центр и коммутант группы, группы автоморфизмов, группы подстановок. группы симметрий геометрических фигур.

Современная экономическая наука включает в себя необходимость рассмотрения такого количества взаимосвязанных объектов, что любое прогнозирование и анализ экономического развития невозможны без привлечения определенных областей математики. В задачах экономического моделирования важное значение имеет понятие равновесия в модели экономического роста. Задача нахождения точки равновесия в современных экономических моделях возможна только при использовании математического аппарата топологических линейных пространств. Овладеть методами топологических векторных пространств и уметь применять их в исследовательской работе. Топологии на множествах. Полу-нормы и топологии в векторных пространствах. Обобщенные последовательности. Сопряженные пространства. Нормированные пространства.

Компьютерный (вычислительный) поперечник, конкретизация компьютерного (вычислительный) поперечника: задача восстановления функций из классов, метод тензорных произведений функционалов, операторы восстановления функций, численное интегрирование, дискретизация решений уравнений в частных производных, приложений в компьютерной томографии.

Необходимость обучения данного курса обусловлена тем, чтобы магистранты имели целостное представление об основных подходах и принципах современной психологической науки, основных методах исследования психических процессов, состояний и свойств личности, механизмов регуляции деятельности, закономерности поведения личности и группы, которые могут быть полезными в профессиональной деятельности специалистов высшей квалификации.

Определения и основные свойства метрических пространств, сходимость функции, понятие расстояние между точками и от точки до множества, открытые, замкнутые множества, замыкание множеств, принцип сжимающихся отображений, компактность в метрических пространствах. Определение внутренних, внешних, граничных, предельных точек. Спектр сингулярных дифференциальных операторов и его свойства. Пространства Лебега с разными весами и их свойства. Пространства Соболева с разными весами и их свойства, установление неравенств в этих пространствах. Мультивесовые неравенства дифференциальных операторов.

Тригонометрические ряды, коэффициенты Фурье, классы множителей, тригонометрические системы, классы множителей по тригонометрической системе. Свойства класс множителей. Связь класса множителей с пространством Лоренца и Бесова.

Кольца, тела. Делители нуля. Гомоморфизмы колец. Идеалы. Построение поле частных. Кольцо многочленов. Отношение конгруэнтности в кольце. Делимость. Простые идеалы. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов. Модули над кольцами. Линейные пространства, их размерность. Двойственное векторное пространство. Алгебры. Определения ассоциативных, альтернативных алгебр. Произведение алгебр. Скрещенное произведение алгебр. Тождества алгебр. Неассоциативные слова. Свободные алгебры. Однородные тождества. Идеалы тождеств. Многообразия алгебр.

Ортогональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье, свойства, достаточные условия сходимости. Регулярные системы. Примеры. Мультипликаторы, множители по регулярным системам.

Пространства Соболева и их свойства. Соотношения вложения и аппроксимативные характеристики операторов вложений и их приложения в теории дифференциальных операторов. Весовые пространства Лебега. Весовые пространства типа Бесева, Соболева, Никольского.

Система Уолша. Определение и свойства функции Уолша. Коэфиициенты Фурье-Уолша, свойства. Формулы для частичных сумм ряда Фурье-Уолша. Вопросы сходимости и приближения. Определение и свойства функции Хаара. Коэфиициенты Фурье-Уолша, свойства. Формулы для частичных сумм ряда Фурье-Хаара. Вопросы сходимости и приближения. рядов Фурье-Хаара. Обработка изображений методом Хаара.

Этот курс включает в себя основные положения теории меры и ее применения в прогнозировании развития важных в обществе процессов. Например, развитие инфекционных болезней населения на основе эмпирических данных, развитие демографических процессов. Иметь представление об общих принципах построения счетно-аддитивных мер на алгебрах множеств и пространствах суммируемых функций, уметь применять принципы построения в теоретических исследованиях и в численном анализе

В рамках дисциплины излагаются дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, постановка краевых задач и собственные значения и собственные функции одномерной задачи Штурма-Лиувилля, их свойства. Магистранты изучают интегральные уравнения в пространствах суммируемых функций, приведение краевых задач к изучению интегральных уравнений и Альтернативы Фредгольма.

На курсе магистранты освежат базовые знания по теории пределов и непрерывных функций, дифференциальному исчислению функций одной и многих переменных, основам неопределенного, определенного (в том числе кратного) и несобственного интегрирования, основам теории рядов. Математические методы экономического анализа. Подходы к математическому моделированию. Однородные и гомотетические функции в задачах оптимизации. Однородные функции. Свойства однородных функций. Преобразование подобия (гомотетия). Примеры однородных функций для экономических исследований. Гомотетические функции. Условный экстремум и гомотетические функции. Свойства точек условного экстремума для задач с однородными функциями. Добавление. Однородные функции и дифференциальные уравнения. Математические модели в страховании рисков стихийных бедствий. Математические методы в инвестиционной и проектной деятельности: учет рисков.

Дисциплина «Теория интерполяции» направлена на изучение интерполяционных методов: теоремы Рисса-Торина, Марцинкевича, Кальдерона, пары пространств, промежуточные, интерполяционные пространства, определение K– методы и его свойства, определение J – методы и его свойства. В результате обучения магистранты получают навыки интерполирования основных функциональных пространств.

Дисциплина «Криптография на эллиптических кривых» направлена на изучение теоретических основ алгебры на эллиптических кривых, необходимых для разработки, анализа и эксплуатации современных средств криптографической защиты информации. В курсе описываются математические понятия, связанные с эллиптическими кривыми, в частности проблема дискретного логарифмирования на эллиптической кривой. Также описывается аналог алгоритма Диффи- Хеллмана на эллиптических кривых, алгоритм цифровой подписи на эллиптических кривых и алгоритм шифрования с открытым ключом получателя на эллиптических кривых.

Необходимые сведения из алгебраической теории чисел. Сетки Коробова как сверхсжатие информации. Общий метод численного интегрирования функций, представимых в виде абсолютно сходящихся тригонометрических рядов Фурье. Дальнейшие исследования.

Известные приемы в теории уравнений математической физики направлены на решение конкретно краевой, начальной, либо начально – краевой задачи для заданного уравнения. Предлагаемая дисциплина знакомит обучающихся с современными операторными методами описания всех корректных краевых задач для конкретного дифференциального уравнения в заданной области.

Курс "Иностранный язык (профессиональный)" предусматривает овладение нормами академического письма, развитие навыков критического анализа, подготовки научных обзоров, аннотаций, составления рефератов и библиографий по тематике проводимых исследований, формирует межкультурно-коммуникативную компетенцию магистрантов неязыковых специальностей в процессе иноязычного образования на уровне сверх базовой стандартности (С1).

Необходимые сведения из алгебраической теории чисел. Сетки Коробова как сверхсжатие информации. Общий метод численного интегрирования функций, представимых в виде абсолютно сходящихся тригонометрических рядов Фурье. Дальнейшие исследования.

В рамках дисциплины систематически излагаются пространственно- операторные методы исследования разрешимости одномерных дифференциальных уравнений заданных в некомпактной области. Магистранты получат навыки установления существования и единственности решения дифференциальных уравнений с неограниченными переменными коэффициентами, применяемые в квантовой механике и динамике броуновского движения частиц.

Дисциплина «Сингулярные интегралы в функциональных пространствах» направлена на изучения свойств классических операторов: максимальные функции Харди-Литльвуда, дробно-максимальная функция, преобразование Гильберта и потенциал Рисса. Рассматриваются вопросы ограниченности указанных операторов в пространствах Лебега Lp. В результате обучения магистранты получают навыки работы с сингулярными интегралами в функциональных пространствах.

В предлагаемои курсе представлены сетевые пространства и их свойства. Также даны интерполяционные свойства сетевых пространств, определение и свойства обобщенных сетевых пространств. В результате обучения магистранты получают навыки работы с сетевыми пространствами.

Курс «История и философия науки» формирует у магистрантов культуру научного мышления, развивает аналитические способности и навыки исследовательской деятельности.

Дисциплина «Применение весовых неравенств типа Харди в физике для определения колебательных свойств объектов» является продолжением теории линейных операторов и направлена на изучение интегральных и дискретных весовых неравенств типа Харди, установление их необходимых и достаточных условий, оценка норм интегральных и дискретных операторов типа Харди. В процессе обучения магистранты должны освоить основные методы установления необходимых и достаточных условий для интегральных и дискретных неравенств Харди и приобрести исследовательские навыки. Кроме того, рассматриваются периодические и колебательные движения физических объектов, простое гармоническое движение, виды колебательного движения, колебательная система и применение весовых неравенств типа Харди в колебательной теории.

Пространство Мори, свойства пространства Мори, интреполяционные теоремы пространства Мори.

Тригонометрические ряды Фурье, свойства, достаточные условия сходимости. Регулярные системы. Мультипликаторы. Теоремы Марцинкевича, Хермандера, Лизоркина.

Пространства Лебега, Лоренца. Тригонометрические ряды Фурье, свойства, достаточные условия сходимости. Регулярные системы. Мультипликаторы. Теоремы Марцинкевича, Хермандера, Лизоркина.

Неравенства Юнга, Гельдера и Минковского. Классическое неравенство Харди. Двухвесовые и трехвесовые дискретные неравенства типа Харди. Критерий ограниченности и компактности для класса матричных операторов типа Харди. Оценка их норм.

Рассматривается критерий обратимости полиномиального отображения и пути вычисления обратных отображений через дифференцирования кольца многочленов, в частности: полиномиальное отображение, условие Якоби, келлерево отображение, теорема о формальной обратной функции, сисстема координат для кольца многочленов от нескольких переменных, теоремы Дерксена, Ван ден Эссена, дифференцирования алгебр, ядро дифференцировании, теорема Нагаты, локально конечные и локально нильпотентные дифференцирования кольца многочленов, обратный автоморфизм автоморфизма Нагаты.

Регулярные системы. Мультипликаторы. Теоремы Марцинкевича, Хермандера, Лизоркина. Пары пространств, интерполяционные пространства, K, J - методы. Теорема о реитерации.

Кратные ряды. Методы суммируемости. Кратные Тригонометрические ряды Фурье, свойства, достаточные условия сходимости. Мультипликаторы, множители по тригонометрическим системам. Преобразование Фурье. Свойства. Весовые пространства Лебега. Весовые пространства типа Бесева, Соболева, Никольского.

Учебный курс состоит из двух разделов. В первом разделе рассматриваются основные понятия и определения и основные задачи теории приближений. Вместе с тем доказываются общие теоремы о существовании и единственности элемента наилучшего приближения. Рассматриваются вопросы о характеризации элемента наилучшего приближения в гильбертовом пространстве, в пространстве непрерывных функций и в пространстве Лебега. Второй раздел посвящен изучению приближения периодических функций в пространстве Лебега тригонометрическими полиномами. В этом разделе определяется модуль непрерывности функции и доказываются утверждения о его свойствах. Доказываются прямые и обратные теоремы теории приближений в пространстве Лебега.

C * -алгебра является замкнутой по норме самосопряженной подалгеброй ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Альтернативно аксиоматически можно описать C * -алгебры как комплексные банаховы алгебры с инволюцией. Предмет C * -алгебр можно рассматривать как ветвь функционального анализа, где рассматриваются конкретные некоммутативные алгебры. Основная часть курса будет охватывать некоторые фундаментальные результаты теории, в том числе теорему Гельфанда-Наймарка о представлении C * -алгебр, теорему о двойном коммутанте фон Неймана и теорему плотности Капланского.

Вейвлеты Хаара. Многомасштабный анализ. Процедуры декомпозиции и построение сигналов. Непрерывное и дискретное вейвлет-преобразование. Частотно-временная локализация сигнала. Сжатие и фильтрация сигналов методом вейвлет-преобразования. Проблемы компьютерной томографии. Преобразование Радона. Обратное преобразование Радона с использованием вейвлет-преобразования. Вейвлеты Мейера, Добеши, сплайновые вейвлеты.

В рамках дисциплины изучается многопараметрический метод интерполяции и его применение. Магистранты познакомятся с K, J - методами, методом многопараметрической интерполяции, определением анизотропных функциональных пространств, многомерных пространств Бесова, анизотропных пространств Лоренца, а также изучат метод и свойства интерполяций многомерных и анизотропных функциональных пространств.

Сопряженное уравнение в банаховом пространстве. Фредгольмовы уравнения. Переопределенные уравнения. Неопределенные уравнения. Интегральные уравнения. Дифференциальные уравнения

Дисциплина «Ограниченность интегральных и матричных операторов» направлена на изучение свойств ограниченности и компактности некоторых классов интегральных и матричных операторов в функциональных пространствах. В процессе обучения магистранты должны усвоить основные методы установления свойств интегральных и матричных операторов в различных функциональных пространствах, а также методы оценки их норм и приобрести навыки исследования.

Дисциплина «Криптография основанная на теории групп» направлена на изучение вопросов, связанных с современными методами построения криптографии на группах. Исследования в этой области проводятся методами теории групп, теории сложности и теории вычислений. Обращается внимание на использование в качестве основы указанной конструкции неразрешимых и трудноразрешимых алгоритмических задач теории групп. Основные темы курса: Платформы шифрования; Бесконечные группы и алгоритмические проблемы; Алгоритмическая постановка задачи; схема Аншеля- Аншеля-Голдфельда; метод линейной декомпозиции; Анализ схем групповой криптографии.

Дисциплина «Аддитивные и мультипликативные весовые неравенства» направлена на изучение аддитивных и мультипликатиыных оценок весовой нормой функции через весовую норму оператора дифференцирования или интегрального оператора и весовой нормы функции, вложения весового пространства Соболева в весовое пространство Лебега, применения мультипликативного весового неравенства в интерполяции операторов. В процессе обучения магистранты должны усвоить основные методы установления необходимых и достаточных условии аддитивных и мультипликативных весовых неравенств.

Пространства С.Л.Соболева с сингулярной весовой функцией, условия вложения в пространство Лебега. Постановка сингулярной задачи для дифференциальных уравнений. Принцип локализации. Существование и единственность обобщенного решения сингулярной задачи. Коэрцитивные оценки решения, поведение аппроксимативных чисел резольвенты. Принцип Шаудера. Методы доказательства разрешимости квазилинейного сингулярного уравнения.

Некоторые важные типы расширений. Минимальный многочлен. Строение простых алгебраических расширений. Алгебраичность конечных расширений. Строение составных алгебраических расширений. Составные конечные расширения. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым. Поле алгебраических чисел. Композит полей. Нормальные расширения. Автоморфизмы полей. Группа Галуа. Порядок группы Галуа. Соостветствие Галуа. Теорема о сопряженных элементах. Группа Галуа нормального подполя. Группа Галуа композита двух полей. Простые радикальные расширения. Циклические расширения. Радикальные расширения. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа. Уравнения разрешимые в радикалах.

Теория мультипликаторов - это интенсивно развивающийся раздел функционального анализа. Курс посвящен постановке задач, истории мультипликаторий и последним результатам. Кроме того, они изучают свойства класса мультипликаторов в тригонометрической системе и свойства класса множителей в тригонометрической системе.

Теория интерполяции - это интенсивно развивающийся раздел функционального анализа, имеющая многочисленные применения в других разделах математики : теории уравнений в частных производных, численном анализа, теории аппроксимации и многих других. Особенно важны описания интерполяционных пространств в пространствах дифференцируемых функций для краевых задач уравнений математической физики. В курсе изложены основные положения теории интерполяции пространств Соболева.

Теория преобразования типа Харди и Беллмана, методы и приложения этой теории.

Общая постановка задачи восстановления. Классы Ульянова. Темы исследований при конкретизации: численное интегрирование функций бесконечной гладкости, восстановление функций по различным видам числовой информации, дискретизация решений уравнений в частных производных, теоремы Е.Нурмолдина в численном интегрировании, задачах восстановления и в дискретизации решений уравнения теплопроводности.

Ортогональные ряды. Кратные тригонометрические ряды Фурье, свойства, достаточные условия сходимости. Мультипликаторы, множители по кратным тригонометрическим системам. Преобразование Фурье. Свойства.

Входе изучения данного курса магистранты ознакомятся с общей постановкой задачи дискретизации уравнения в частных производных по неточной информации в контексте компьютерного (вычислительного) поперечника, оценками сверху и снизу, предельные порядки информативных мощностей всевозможных линейных функционалов при дискретизации решений уравнений теплопроводности, волнового уравнения, уравнения Клейна-Гордона, интегрального уравнения с вырожденным ядром.

Дисциплина объединяет спектральную теорию, сингулярные дифференциальные операторы и теорию приближений. Она посвящена методам оценки собственных и сингулярных чисел максимально регулярных операторов. В результате изучения дисциплины магистранты знакомятся с приемами оценки точности приближенного решения широкого класса дифференциальных уравнений, исходя из поведений переменных коэффициентов. Нормальные операторы квантовой механики в гильбертовом пространстве. Операторы Гильберта-Шмидта. Теорема Карлемана. Классы Cp вполне непрерывных операторов. Спектральная теорема для неограниченных самосопряженных операторов. Теоремы полноты для системы корневых векторов операторов Шредингера в квантовой механике.

В процессе изучения данного курса магистранты усвоят постановку задачи компьютерный (вычислительного) поперечник по неточным информациям, ознакомятся с некотоыми результатами при различных его конкретизациях, методами нахождения информативных мощностей всех возможных линейных функционалов, предельной погрешности при восстановлении по различным видам неточной информации.

Дисциплина «Линейный анализ в конечномерном пространстве» направлена на изучение свойств конечномерных пространств и свойств нелинейных операторов в конечномерных пространствах, дифференцирование и интегрирование операторов в конечномерных пространствах, разложение нелинейных операторов в ряд, приближения нелинейного оператора в конечномерном пространстве с линейными операторами, линейных и нелинейных операторов и их свойств, Евклидовых пространств и их свойства, собственных значении операторов и их свойств.

владеть современными педагогическими технологиями и обладать коммуникативными способностями.

Понимать суть обобщенных производных, обобщенного решения дифференциального уравнения, вводить обобщенное решение поставленной краевой задачи в классе разрывных функций, доказывать априорные оценки решений простейших дифференциальных уравнений и разрешимость уравнений с оператором с замкнутой областью значений, применять теоремы функционального анализа для поиска обобщенных решений.

Владеть методами теории замкнутых линейных операторов в гильбертовом пространстве, быть способным представлять краевые задачи с негладкими данными в виде операторного уравнения и исследовать их функциональными методами.

Способность самостоятельно анализировать теорией ортогональных рядов, кратных тригонометрических рядов, кратных рядов Фурье по тригонометрической системе, регулярные системы. быть способным применять методы тригонометрических рядов Фурье, кратных тригонометрических рядов Фурье, в теории мультипликаторов, теории множителей, в теории функциональных пространств.

Владеть навыками поиска актуальных проблем теории алгебры и геометрии; формулировать задачу и применять к ее решению современные методы алгебры.

Владеть теоретическими знаниями по теории численного интегрирования, необходимым математическим аппаратом, помогающим анализировать, моделировать и решать прикладные инженерные задачи с применением ЭВМ, методами научного анализа и прогнозирования различных явлений и процессов для применения их в профессиональной деятельности.

Анализировать основные мировоззренческие и методоло-гические проблемы, в т.ч. междисциплинарного характера, ис-следуемые в науке на современном этапе ее развития и исполь-зовать результаты в профессиональной деятельности

Понимать цели и задачи современного гармонического анализа, излагать основные задачи, поставленные современной наукой, решать новых проблем и использовать новые методы изучения в теории функций и функционального анализа.

Владеть основами современной теории функциональных пространств, быть нацеленным на развитие функционального мышления в широком смысле, владеть определениями пространств Лебега, Соболева, пространства функций нецелой гладкости с позиции гармонического анализа, с позиции классического анализа, быть способным доказывать теоремы вложения, теоремы о мультипликаторах.

Владеть методами топологических векторных пространств, теории обобщенных функций, применять их в исследовательской работе.

Владеть навыками работы с различными неравенствами, методами интерполяционных пространств для применения их к конкретным функциональным пространствам; владеть интерполяционными методами, применять их при исследовании конкретных задач.